Risolvi 4x^2-10x+4=0

$$4 { x }^{ 2 } -10x+4 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 2.

$$2x^{2}-5x+2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=2\times 2=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-4 b=-1$$

Riscrivi 2x^{2}-5x+2 come \left(2x^{2}-4x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(-x+2\right)$$

Fattori in 2x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e 2x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-10x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -10 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-16\times 4}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 4.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2\times 4}$$

Aggiungi 100 a -64.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±6}{2\times 4}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±6}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{10±6}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±6}{8} quando ± è più. Aggiungi 10 a 6.

$$x=\frac{16}{8}$$

Dividi 16 per 8.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±6}{8} quando ± è meno. Sottrai 6 da 10.

$$x=\frac{4}{8}$$

Riduci la frazione \frac{4}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-10x+4=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-10x+4-4=-4$$

Sottraendo 4 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-10x=-4$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-10x}{4}=-\frac{4}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{4}\right)x=-\frac{4}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{4}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-1$$

Dividi -\frac{5}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Aggiungi -1 a \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Aggiungi \frac{5}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$