Risolvi 4x^2+4x=3

$$4 { x }^{ 2 } +4x=3$$

Trova x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 3 da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x-3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=-2 b=6$$

Riscrivi 4x^{2}+4x-3 come \left(4x^{2}-2x\right)+\left(6x-3\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(6x-3\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-1=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+4x=3$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+4x-3=3-3$$

Sottraendo 3 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+4x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 4 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a 48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$x=\frac{-4±8}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-4±8}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±8}{8} quando ± è più. Aggiungi -4 a 8.

$$x=\frac{4}{8}$$

Riduci la frazione \frac{4}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±8}{8} quando ± è meno. Sottrai 8 da -4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=3$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{3}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{3}{4}$$

Dividi 4 per 4.

$$x^{2}+x=\frac{3}{4}$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=1$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=1 x+\frac{1}{2}=-1$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{2}$$