Risolvi 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Trova x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 120 da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-30. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-5 b=6$$

Riscrivi x^{2}+x-30 come \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Fattorizza x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-5 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-5=0 e x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+4x=120$$

Sottrai 120 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Sottraendo 120 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 4 a b e -120 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±44}{8} quando ± è più. Aggiungi -4 a 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Dividi 40 per 8.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±44}{8} quando ± è meno. Sottrai 44 da -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Dividi -48 per 8.

$$x=-6$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=-6$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Dividi 4 per 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Dividi 120 per 4.

$$x^{2}+x=30$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 30 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Scomponi x^{2}+x+\frac{1}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=-6$$