Risolvi 4x^2+4x=1

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+4x=1$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 4 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} quando ± è più. Aggiungi -4 a 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Dividi -4+4\sqrt{2} per 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{2} da -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Dividi -4-4\sqrt{2} per 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=1$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Dividi 4 per 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Aggiungi \frac{1}{4} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$