Risolvi 4+19x-5x^2=0

$$4 + 19 x - 5 x ^ { 2 } = 0$$

Trova x

$$x=4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-5x^{2}+19x+4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -5x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=19 ab=-5\times 4=-20$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 19 come somma.

$$a=20 b=-1$$

Riscrivi -5x^{2}+19x+4 come \left(-5x^{2}+20x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-5x^{2}+20x\right)+\left(-x+4\right)$$

Scomponi 5x in -5x^{2}+20x.

$$5x\left(-x+4\right)-x+4$$

Fattorizza il termine comune -x+4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+4\right)\left(5x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+4=0 e 5x+1=0.

$$x=4 x=-\frac{1}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-5x^{2}+19x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -5 a a, 19 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\left(-5\right)\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Eleva 19 al quadrato.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\left(-5\right)\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica -4 per -5.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+20\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica 20 per 4.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+80}}{2\left(-5\right)}$$

Aggiungi 361 a 80.

$$x=\frac{-19±\sqrt{441}}{2\left(-5\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 441.

$$x=\frac{-19±21}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica 2 per -5.

$$x=\frac{-19±21}{-10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-19±21}{-10} quando ± è più. Aggiungi -19 a 21.

$$x=\frac{2}{-10}$$

Riduci la frazione \frac{2}{-10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-19±21}{-10} quando ± è meno. Sottrai 21 da -19.

$$x=-\frac{40}{-10}$$

Dividi -40 per -10.

$$x=4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{5} x=4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+19x+4=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-5x^{2}+19x+4-4=-4$$

Sottraendo 4 da se stesso rimane 0.

$$-5x^{2}+19x=-4$$

Dividi entrambi i lati per -5.

$$\frac{-5x^{2}+19x}{-5}=-\frac{4}{-5}$$

La divisione per -5 annulla la moltiplicazione per -5.

$$x^{2}+\frac{19}{-5}x=-\frac{4}{-5}$$

Dividi 19 per -5.

$$x^{2}-\frac{19}{5}x=-\frac{4}{-5}$$

Dividi -4 per -5.

$$x^{2}-\frac{19}{5}x=\frac{4}{5}$$

Dividi -\frac{19}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{19}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{19}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{19}{5}x+\left(-\frac{19}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{19}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{19}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{19}{5}x+\frac{361}{100}=\frac{4}{5}+\frac{361}{100}$$

Aggiungi \frac{4}{5} a \frac{361}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{19}{5}x+\frac{361}{100}=\frac{441}{100}$$

Fattore x^{2}-\frac{19}{5}x+\frac{361}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{10}\right)^{2}=\frac{441}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{100}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{19}{10}=\frac{21}{10} x-\frac{19}{10}=-\frac{21}{10}$$

Aggiungi \frac{19}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=-\frac{1}{5}$$