Risolvi 3x=sqrt{x^2+6}-4

$$3x = \sqrt{ { x }^{ 2 } +6 } -4$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Procedura della soluzione

Sottrai -4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x+4=\sqrt{x^{2}+6}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(3x+4\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+4\right)^{2}.

$$9x^{2}+24x+16=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}+6} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}+6.

$$9x^{2}+24x+16=x^{2}+6$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$9x^{2}+24x+16-x^{2}=6$$

Combina 9x^{2} e -x^{2} per ottenere 8x^{2}.

$$8x^{2}+24x+16=6$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$8x^{2}+24x+16-6=0$$

Sottrai 6 da 16 per ottenere 10.

$$8x^{2}+24x+10=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

La soluzione è la coppia che restituisce 12 come somma.

$$a=2 b=10$$

Riscrivi 4x^{2}+12x+5 come \left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x+1=0 e 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Sostituisci -\frac{1}{2} a x nell'equazione 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Semplifica. Il valore x=-\frac{1}{2} soddisfa l'equazione.

$$-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Sostituisci -\frac{5}{2} a x nell'equazione 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Semplifica. Il valore x=-\frac{5}{2} non soddisfa l'equazione.

$$-\frac{15}{2}=-\frac{1}{2}$$

L'equazione 3x+4=\sqrt{x^{2}+6} ha una soluzione univoca.

$$x=-\frac{1}{2}$$