Risolvi 32x^10-97x^5+3=0

$$32 x ^ { 10 } - 97 x ^ { 5 } + 3 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x\in \sqrt[5]{3},\sqrt[5]{3}e^{\frac{8\pi i}{5}},\sqrt[5]{3}e^{\frac{2\pi i}{5}},\sqrt[5]{3}e^{\frac{4\pi i}{5}},\sqrt[5]{3}e^{\frac{6\pi i}{5}},\frac{e^{\frac{8\pi i}{5}}}{2},\frac{1}{2},\frac{e^{\frac{2\pi i}{5}}}{2},\frac{e^{\frac{4\pi i}{5}}}{2},\frac{e^{\frac{6\pi i}{5}}}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sostituisci t per x^{5}.

$$32t^{2}-97t+3=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 32 con a, -97 con b e 3 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{\left(-97\right)^{2}-4\times 32\times 3}}{2\times 32}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{97±95}{64}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{97±95}{64} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=3 t=\frac{1}{32}$$

Poiché x=t^{5}, le soluzioni vengono ottenute risolvendo l'equazione per ogni t.

$$x=-\sqrt[5]{3}ie^{\frac{\pi i}{10}} x=-\sqrt[5]{3}e^{\frac{\pi i}{5}} x=\sqrt[5]{3}ie^{\frac{3\pi i}{10}} x=\sqrt[5]{3}e^{\frac{2\pi i}{5}} x=\sqrt[5]{3} x=-\frac{ie^{\frac{\pi i}{10}}}{2} x=-\frac{e^{\frac{\pi i}{5}}}{2} x=\frac{ie^{\frac{3\pi i}{10}}}{2} x=\frac{e^{\frac{2\pi i}{5}}}{2} x=\frac{1}{2}$$

Trova x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=\sqrt[5]{3}\approx 1,24573094$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sostituisci t per x^{5}.

$$32t^{2}-97t+3=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 32 con a, -97 con b e 3 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{\left(-97\right)^{2}-4\times 32\times 3}}{2\times 32}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{97±95}{64}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{97±95}{64} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=3 t=\frac{1}{32}$$

Poiché x=t^{5}, le soluzioni vengono ottenute valutando x=\sqrt[5]{t} per ogni t.

$$x=\sqrt[5]{3} x=\frac{1}{2}$$