Risolvi 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 31 a a, -3 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Moltiplica -4 per 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Aggiungi 9 a -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Calcola la radice quadrata di -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Moltiplica 2 per 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} quando ± è più. Aggiungi 3 a i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{115} da 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

La divisione per 31 annulla la moltiplicazione per 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Dividi -\frac{3}{31}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{62}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{62} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{62} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Aggiungi -\frac{1}{31} a \frac{9}{3844} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Fattore x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Aggiungi \frac{3}{62} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$