Risolvi 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Trova x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 3384 da entrambi i lati.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 7x^{2}+ax+bx-1128. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=-84 b=94$$

Riscrivi 7x^{2}+10x-1128 come \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Fattori in 7x nel primo e 94 nel secondo gruppo.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Fattorizza il termine comune x-12 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-12=0 e 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Sottrai 3384 da entrambi i lati dell'equazione.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Sottraendo 3384 da se stesso rimane 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 21 a a, 30 a b e -3384 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Eleva 30 al quadrato.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Moltiplica -4 per 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Moltiplica -84 per -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Aggiungi 900 a 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Calcola la radice quadrata di 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Moltiplica 2 per 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-30±534}{42} quando ± è più. Aggiungi -30 a 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Dividi 504 per 42.

$$x=12$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-30±534}{42} quando ± è meno. Sottrai 534 da -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Riduci la frazione \frac{-564}{42} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Dividi entrambi i lati per 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

La divisione per 21 annulla la moltiplicazione per 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Riduci la frazione \frac{30}{21} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Riduci la frazione \frac{3384}{21} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Dividi \frac{10}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{7}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{7} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{7} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Aggiungi \frac{1128}{7} a \frac{25}{49} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Fattore x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Sottrai \frac{5}{7} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$