Risolvi 3z^2+16z+20

$$3 z ^ { 2 } + 16 z + 20$$

Scomponi in fattori

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 3z^{2}+az+bz+20. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=16 ab=3\times 20=60$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

La soluzione è la coppia che restituisce 16 come somma.

$$a=6 b=10$$

Riscrivi 3z^{2}+16z+20 come \left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right).

$$\left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right)$$

Fattori in 3z nel primo e 10 nel secondo gruppo.

$$3z\left(z+2\right)+10\left(z+2\right)$$

Fattorizza il termine comune z+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+16z+20=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Eleva 16 al quadrato.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 20.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

Aggiungi 256 a -240.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$z=\frac{-16±4}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$z=\frac{-16±4}{6}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-16±4}{6} quando ± è più. Aggiungi -16 a 4.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Dividi -12 per 6.

$$z=-2$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-16±4}{6} quando ± è meno. Sottrai 4 da -16.

$$z=-\frac{20}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$z=-\frac{10}{3}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -2 e x_{2} con -\frac{10}{3}.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z-\left(-2\right)\right)\left(z-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\left(z+\frac{10}{3}\right)$$

Aggiungi \frac{10}{3} a z trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\times \frac{3z+10}{3}$$

Annulla il massimo comune divisore 3 in 3 e 3.

$$3z^{2}+16z+20=\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Calcola

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$