Risolvi 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Scomponi in fattori

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 3z^{2}+az+bz-5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 14 come somma.

$$a=-1 b=15$$

Riscrivi 3z^{2}+14z-5 come \left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

Fattori in z nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3z-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 14 al quadrato.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Aggiungi 196 a 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-14±16}{6} quando ± è più. Aggiungi -14 a 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$z=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-14±16}{6} quando ± è meno. Sottrai 16 da -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Dividi -30 per 6.

$$z=-5$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{1}{3} e x_{2} con -5.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Sottrai \frac{1}{3} da z trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Annulla il massimo comune divisore 3 in 3 e 3.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Calcola

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$