Risolvi 3y^2+y-7=0

$$3 y ^ { 2 } + y - 7 = 0$$

Trova y

$$y = \frac{\sqrt{85} - 1}{6} \approx 1,369924076$$

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}\approx -1,70325741$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 1 a b e -7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -7.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+84}}{2\times 3}$$

Aggiungi 1 a 84.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} quando ± è più. Aggiungi -1 a \sqrt{85}.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{85} da -1.

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3y^{2}+y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Sottraendo -7 da se stesso rimane 0.

$$3y^{2}+y=-\left(-7\right)$$

Sottrai -7 da 0.

$$3y^{2}+y=7$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3y^{2}+y}{3}=\frac{7}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Dividi \frac{1}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Aggiungi \frac{7}{3} a \frac{1}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{85}{36}$$

Fattore y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{85}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{36}}$$

Semplifica.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{85}}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{85}}{6}$$

Sottrai \frac{1}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$