Risolvi 3y^2+11y-4

$$3 y ^ { 2 } + 11 y - 4$$

Scomponi in fattori

$$\left(3y-1\right)\left(y+4\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 3y^{2}+ay+by-4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=11 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 11 come somma.

$$a=-1 b=12$$

Riscrivi 3y^{2}+11y-4 come \left(3y^{2}-y\right)+\left(12y-4\right).

$$\left(3y^{2}-y\right)+\left(12y-4\right)$$

Fattori in y nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$y\left(3y-1\right)+4\left(3y-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3y-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3y-1\right)\left(y+4\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$3y^{2}+11y-4=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 3}$$

Aggiungi 121 a 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$y=\frac{-11±13}{6}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-11±13}{6} quando ± è più. Aggiungi -11 a 13.

$$y=\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-11±13}{6} quando ± è meno. Sottrai 13 da -11.

$$y=-\frac{24}{6}$$

Dividi -24 per 6.

$$y=-4$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{1}{3} e x_{2} con -4.

$$3y^{2}+11y-4=3\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y-\left(-4\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$3y^{2}+11y-4=3\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y+4\right)$$

Sottrai \frac{1}{3} da y trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$3y^{2}+11y-4=3\times \frac{3y-1}{3}\left(y+4\right)$$

Annulla il massimo comune divisore 3 in 3 e 3.

$$3y^{2}+11y-4=\left(3y-1\right)\left(y+4\right)$$

Calcola

$$\left(3y-1\right)\left(y+4\right)$$