Risolvi 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

Trova x,.y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$3x-y=2$$

Aggiungi y a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=y+2$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Moltiplica \frac{1}{3} per y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Sostituisci \frac{2+y}{3} a x nell'altra equazione 2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Moltiplica 2 per \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

Aggiungi \frac{2y}{3} a -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Sottrai \frac{4}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Moltiplica entrambi i lati per -3.

$$y=-5$$

Sostituisci -5 a y in x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

Moltiplica \frac{1}{3} per -5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a -\frac{5}{3} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-1,y=-5$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-1,y=-5$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Sottrai 2x-y=3 a 3x-y=2 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

Aggiungi -y a y. I termini -y e y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$3x-2x=2-3$$

Aggiungi 3x a -2x.

$$x=2-3$$

Aggiungi 2 a -3.

$$x=-1$$

Sostituisci -1 a x in 2x-y=3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

Moltiplica 2 per -1.

$$-2-y=3$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-y=5$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$y=-5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-1,y=-5$$