Risolvi 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Trova x,.y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$3x-5y=4$$

Aggiungi 5y a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=5y+4$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Moltiplica \frac{1}{3} per 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Sostituisci \frac{5y+4}{3} a x nell'altra equazione 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Moltiplica 9 per \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Aggiungi 15y a -2y.

$$13y+12=7$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$13y=-5$$

Dividi entrambi i lati per 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Sostituisci -\frac{5}{13} a y in x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Moltiplica \frac{5}{3} per -\frac{5}{13} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a -\frac{25}{39} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{9}{13}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Per rendere 3x e 9x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 9 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Semplifica.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Sottrai 27x-6y=21 a 27x-45y=36 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Aggiungi 27x a -27x. I termini 27x e -27x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-45y+6y=36-21$$

Aggiungi -45y a 6y.

$$-39y=36-21$$

Aggiungi 36 a -21.

$$-39y=15$$

Dividi entrambi i lati per -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Sostituisci -\frac{5}{13} a y in 9x-2y=7. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Moltiplica -2 per -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Sottrai \frac{10}{13} da entrambi i lati dell'equazione.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$