Risolvi 3x-15=2x(x-5)

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Trova x

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Combina 3x e 10x per ottenere 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -2x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La soluzione è la coppia che restituisce 13 come somma.

$$a=10 b=3$$

Riscrivi -2x^{2}+13x-15 come \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Fattori in 2x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+5=0 e 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Combina 3x e 10x per ottenere 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -2 a a, 13 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Eleva 13 al quadrato.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 8 per -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Aggiungi 169 a -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 2 per -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±7}{-4} quando ± è più. Aggiungi -13 a 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{-4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±7}{-4} quando ± è meno. Sottrai 7 da -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Dividi -20 per -4.

$$x=5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Combina 3x e 10x per ottenere 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Aggiungi 15 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$13x-2x^{2}=15$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

La divisione per -2 annulla la moltiplicazione per -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Dividi 13 per -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Dividi 15 per -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Dividi -\frac{13}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{13}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{13}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Aggiungi -\frac{15}{2} a \frac{169}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Aggiungi \frac{13}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$