Risolvi 3x(x+1)-(x-2)^2/2=(x+1)(x-1)+15

$$3 x ( x + 1 ) - \frac { ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 15$$

Trova x

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5,333333333$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x per x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-4x+4, trova l'opposto di ogni termine.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x^{2} e -x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x e 4x per ottenere 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+2 per x-1 e combinare i termini simili.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

E -2 e 30 per ottenere 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Combina 5x^{2} e -2x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Sottrai 28 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Sottrai 28 da -4 per ottenere -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-32. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=-6 b=16$$

Riscrivi 3x^{2}+10x-32 come \left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 16 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(3x+16\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e 3x+16=0.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x per x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-4x+4, trova l'opposto di ogni termine.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x^{2} e -x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x e 4x per ottenere 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+2 per x-1 e combinare i termini simili.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

E -2 e 30 per ottenere 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Combina 5x^{2} e -2x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Sottrai 28 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Sottrai 28 da -4 per ottenere -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 10 a b e -32 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -32.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+384}}{2\times 3}$$

Aggiungi 100 a 384.

$$x=\frac{-10±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 484.

$$x=\frac{-10±22}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-10±22}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±22}{6} quando ± è più. Aggiungi -10 a 22.

$$x=\frac{12}{6}$$

Dividi 12 per 6.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±22}{6} quando ± è meno. Sottrai 22 da -10.

$$x=-\frac{32}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-32}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{16}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x per x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-4x+4, trova l'opposto di ogni termine.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x^{2} e -x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x e 4x per ottenere 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+2 per x-1 e combinare i termini simili.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

E -2 e 30 per ottenere 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Combina 5x^{2} e -2x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$3x^{2}+10x=28+4$$

E 28 e 4 per ottenere 32.

$$3x^{2}+10x=32$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{32}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{32}{3}$$

Dividi \frac{10}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{32}{3}+\frac{25}{9}$$

Aggiungi \frac{32}{3} a \frac{25}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{121}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}$$

Sottrai \frac{5}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$