Risolvi 3x^2-41x=-110

$$3 x ^ { 2 } - 41 x = - 110$$

Trova x

$$x=10$$

$$x = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 110 a entrambi i lati.

$$3x^{2}-41x+110=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+110. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-41 ab=3\times 110=330$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 330.

$$-1,-330 -2,-165 -3,-110 -5,-66 -6,-55 -10,-33 -11,-30 -15,-22$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-330=-331 -2-165=-167 -3-110=-113 -5-66=-71 -6-55=-61 -10-33=-43 -11-30=-41 -15-22=-37$$

La soluzione è la coppia che restituisce -41 come somma.

$$a=-30 b=-11$$

Riscrivi 3x^{2}-41x+110 come \left(3x^{2}-30x\right)+\left(-11x+110\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(-11x+110\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -11 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-10\right)-11\left(x-10\right)$$

Fattorizza il termine comune x-10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(3x-11\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-10=0 e 3x-11=0.

$$x=10 x=\frac{11}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-41x=-110$$

Aggiungi 110 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-41x-\left(-110\right)=-110-\left(-110\right)$$

Sottraendo -110 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-41x-\left(-110\right)=0$$

Sottrai -110 da 0.

$$3x^{2}-41x+110=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -41 a b e 110 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 3\times 110}}{2\times 3}$$

Eleva -41 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 3\times 110}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-12\times 110}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 110.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1320}}{2\times 3}$$

Aggiungi 1681 a -1320.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{361}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 361.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±19}{2\times 3}$$

L'opposto di -41 è 41.

$$x=\frac{41±19}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{41±19}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{41±19}{6} quando ± è più. Aggiungi 41 a 19.

$$x=\frac{60}{6}$$

Dividi 60 per 6.

$$x=10$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{41±19}{6} quando ± è meno. Sottrai 19 da 41.

$$x=\frac{22}{6}$$

Riduci la frazione \frac{22}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{11}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=10 x=\frac{11}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-41x=-110$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-41x}{3}=-\frac{110}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{41}{3}x=-\frac{110}{3}$$

Dividi -\frac{41}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{41}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{41}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{41}{3}x+\left(-\frac{41}{6}\right)^{2}=-\frac{110}{3}+\left(-\frac{41}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{41}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{41}{3}x+\frac{1681}{36}=-\frac{110}{3}+\frac{1681}{36}$$

Aggiungi -\frac{110}{3} a \frac{1681}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{41}{3}x+\frac{1681}{36}=\frac{361}{36}$$

Fattore x^{2}-\frac{41}{3}x+\frac{1681}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{6}\right)^{2}=\frac{361}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{36}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{41}{6}=\frac{19}{6} x-\frac{41}{6}=-\frac{19}{6}$$

Aggiungi \frac{41}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=10 x=\frac{11}{3}$$