Risolvi 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Trova x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+84. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

La soluzione è la coppia che restituisce -32 come somma.

$$a=-18 b=-14$$

Riscrivi 3x^{2}-32x+84 come \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -14 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -32 a b e 84 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Eleva -32 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Aggiungi 1024 a -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

L'opposto di -32 è 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{32±4}{6} quando ± è più. Aggiungi 32 a 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dividi 36 per 6.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{32±4}{6} quando ± è meno. Sottrai 4 da 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Riduci la frazione \frac{28}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Sottrai 84 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Sottraendo 84 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Dividi -84 per 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Dividi -\frac{32}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{16}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{16}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{16}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Aggiungi -28 a \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Aggiungi \frac{16}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$