Risolvi 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -20 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Eleva -20 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Aggiungi 400 a -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

L'opposto di -20 è 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} quando ± è più. Aggiungi 20 a 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Dividi 20+2\sqrt{97} per 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{97} da 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Dividi 20-2\sqrt{97} per 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividi -\frac{20}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{10}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{10}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{10}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Aggiungi -\frac{1}{3} a \frac{100}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Aggiungi \frac{10}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$