Risolvi 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Trova x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -2 come somma.

$$a=-8 b=6$$

Riscrivi 3x^{2}-2x-16 come \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-8=0 e x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -2 a b e -16 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Aggiungi 4 a 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±14}{6} quando ± è più. Aggiungi 2 a 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Riduci la frazione \frac{16}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±14}{6} quando ± è meno. Sottrai 14 da 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Dividi -12 per 6.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Aggiungi 16 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Sottraendo -16 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Sottrai -16 da 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Dividi -\frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Aggiungi \frac{16}{3} a \frac{1}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Aggiungi \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$