Risolvi 3x^2-2x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0,333333333+1,105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,105541597i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -2 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

Aggiungi 4 a -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di -44.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} quando ± è più. Aggiungi 2 a 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

Dividi 2+2i\sqrt{11} per 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{11} da 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

Dividi 2-2i\sqrt{11} per 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

Sottraendo 4 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-2x=-4$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Dividi -\frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Aggiungi -\frac{4}{3} a \frac{1}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Aggiungi \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$