Risolvi 3x^2-10x=48

$$3 x ^ { 2 } - 10 x = 48$$

Trova x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 48 da entrambi i lati.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-48. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-10 ab=3\left(-48\right)=-144$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce -10 come somma.

$$a=-18 b=8$$

Riscrivi 3x^{2}-10x-48 come \left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 8 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-6\right)+8\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(3x+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e 3x+8=0.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-10x=48$$

Sottrai 48 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-10x-48=48-48$$

Sottraendo 48 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -10 a b e -48 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -48.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+576}}{2\times 3}$$

Aggiungi 100 a 576.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 676.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±26}{2\times 3}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±26}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{10±26}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±26}{6} quando ± è più. Aggiungi 10 a 26.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dividi 36 per 6.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±26}{6} quando ± è meno. Sottrai 26 da 10.

$$x=-\frac{16}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-16}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x=48$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{48}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{48}{3}$$

Dividi 48 per 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=16$$

Dividi -\frac{10}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=16+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=16+\frac{25}{9}$$

Aggiungi 16 a \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{169}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{13}{3}$$

Aggiungi \frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$