Risolvi 3x^2+x-4=0

$$3 x ^ { 2 } + x - 4 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-3 b=4$$

Riscrivi 3x^{2}+x-4 come \left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(3x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 3x+4=0.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 1 a b e -4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Aggiungi 1 a 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-1±7}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±7}{6} quando ± è più. Aggiungi -1 a 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dividi 6 per 6.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±7}{6} quando ± è meno. Sottrai 7 da -1.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-8}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Sottraendo -4 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+x=-\left(-4\right)$$

Sottrai -4 da 0.

$$3x^{2}+x=4$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{4}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}$$

Dividi \frac{1}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a \frac{1}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Sottrai \frac{1}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$