Risolvi 3x^2+x+3=120

$$3 x ^ { 2 } + x + 3 = 120$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{1405} - 1}{6} \approx 6,080554938$$

$$x=\frac{-\sqrt{1405}-1}{6}\approx -6,413888271$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+x+3=120$$

Sottrai 120 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+x+3-120=120-120$$

Sottraendo 120 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+x+3-120=0$$

Sottrai 120 da 3.

$$3x^{2}+x-117=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 1 a b e -117 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-117\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-117\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-117\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -117.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+1404}}{2\times 3}$$

Aggiungi 1 a 1404.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1405}}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1405}}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±\sqrt{1405}}{6} quando ± è più. Aggiungi -1 a \sqrt{1405}.

$$x=\frac{\sqrt{1405}-1}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±\sqrt{1405}}{6} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{1405} da -1.

$$x=\frac{-\sqrt{1405}-1}{6}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{1405}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{1405}-1}{6}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x+3=120$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+x+3-3=120-3$$

Sottraendo 3 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+x=120-3$$

Sottrai 3 da 120.

$$3x^{2}+x=117$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{117}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{117}{3}$$

Dividi 117 per 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=39$$

Dividi \frac{1}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=39+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=39+\frac{1}{36}$$

Aggiungi 39 a \frac{1}{36}.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1405}{36}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1405}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1405}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{1405}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{1405}}{6}$$

Sottrai \frac{1}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{1405}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{1405}-1}{6}$$