Risolvi 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

Trova x

$$x=-5$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=-2 b=5$$

Riscrivi x^{2}+3x-10 come \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Fattori in x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 9 a b e -30 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

Aggiungi 81 a 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 441.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-9±21}{6} quando ± è più. Aggiungi -9 a 21.

$$x=\frac{12}{6}$$

Dividi 12 per 6.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-9±21}{6} quando ± è meno. Sottrai 21 da -9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Dividi -30 per 6.

$$x=-5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=-5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Aggiungi 30 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Sottraendo -30 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

Sottrai -30 da 0.

$$3x^{2}+9x=30$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

Dividi 9 per 3.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

Dividi 30 per 3.

$$x^{2}+3x=10$$

Dividi 3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 10 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Fattore x^{2}+3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-5$$