Risolvi 3x^2+7x+2=0

$$3 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

Trova x

$$x=-2$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=3\times 2=6$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 6.

$$1,6 2,3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+6=7 2+3=5$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=1 b=6$$

Riscrivi 3x^{2}+7x+2 come \left(3x^{2}+x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(6x+2\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+1\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x+1=0 e x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+7x+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 7 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-12\times 2}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24}}{2\times 3}$$

Aggiungi 49 a -24.

$$x=\frac{-7±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 25.

$$x=\frac{-7±5}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-7±5}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±5}{6} quando ± è più. Aggiungi -7 a 5.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±5}{6} quando ± è meno. Sottrai 5 da -7.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Dividi -12 per 6.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+7x+2=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+7x+2-2=-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+7x=-2$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+7x}{3}=-\frac{2}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Dividi \frac{7}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{49}{36}$$

Aggiungi -\frac{2}{3} a \frac{49}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{25}{36}$$

Fattore x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{5}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{5}{6}$$

Sottrai \frac{7}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{3} x=-2$$