Risolvi 3x^2+5x=2

$$3 x ^ { 2 } + 5 x = 2$$

Trova x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 2 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+5x-2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-1 b=6$$

Riscrivi 3x^{2}+5x-2 come \left(3x^{2}-x\right)+\left(6x-2\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(6x-2\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-1=0 e x+2=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+5x=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+5x-2=2-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+5x-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 5 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{2\times 3}$$

Aggiungi 25 a 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-5±7}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-5±7}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±7}{6} quando ± è più. Aggiungi -5 a 7.

$$x=\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±7}{6} quando ± è meno. Sottrai 7 da -5.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Dividi -12 per 6.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=2$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{2}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{2}{3}$$

Dividi \frac{5}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a \frac{25}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{49}{36}$$

Fattore x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{7}{6}$$

Sottrai \frac{5}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$