Risolvi 3x^2+45=24x

$$3 x ^ { 2 } + 45 = 24 x$$

Trova x

$$x=3$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 24x da entrambi i lati.

$$3x^{2}+45-24x=0$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x^{2}+15-8x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$x^{2}-8x+15=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-5 b=-3$$

Riscrivi x^{2}-8x+15 come \left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Fattori in x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e x-3=0.

$$x=5 x=3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 24x da entrambi i lati.

$$3x^{2}+45-24x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-24x+45=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -24 a b e 45 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Eleva -24 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 45.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Aggiungi 576 a -540.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

L'opposto di -24 è 24.

$$x=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{24±6}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{24±6}{6} quando ± è più. Aggiungi 24 a 6.

$$x=\frac{30}{6}$$

Dividi 30 per 6.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{24±6}{6} quando ± è meno. Sottrai 6 da 24.

$$x=\frac{18}{6}$$

Dividi 18 per 6.

$$x=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=3$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 24x da entrambi i lati.

$$3x^{2}+45-24x=0$$

Sottrai 45 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$3x^{2}-24x=-45$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-24x}{3}=-\frac{45}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)x=-\frac{45}{3}$$

Dividi -24 per 3.

$$x^{2}-8x=-\frac{45}{3}$$

Dividi -45 per 3.

$$x^{2}-8x=-15$$

Dividi -8, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -4. Quindi aggiungi il quadrato di -4 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x^{2}-8x+16=-15+16$$

Aggiungi -15 a 16.

$$x^{2}-8x+16=1$$

Fattore x^{2}-8x+16. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$x-4=1 x-4=-1$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=3$$