Risolvi 3x^2+4x-1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\approx 0,215250437$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\approx -1,54858377$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 4 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\times 3}$$

Aggiungi 16 a 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 28.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} quando ± è più. Aggiungi -4 a 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-4}{6}$$

Dividi -4+2\sqrt{7} per 6.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{7} da -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-4}{6}$$

Dividi -4-2\sqrt{7} per 6.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$3x^{2}+4x=1$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{1}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

Dividi \frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Aggiungi \frac{1}{3} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Sottrai \frac{2}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$