Risolvi 3x^2+36x+81=0

$$3 x ^ { 2 } + 36 x + 81 = 0$$

Trova x

$$x=-9$$

$$x=-3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+27. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=12 ab=1\times 27=27$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 27.

$$1,27 3,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+27=28 3+9=12$$

La soluzione è la coppia che restituisce 12 come somma.

$$a=3 b=9$$

Riscrivi x^{2}+12x+27 come \left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right)$$

Fattori in x nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+3\right)+9\left(x+3\right)$$

Fattorizza il termine comune x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+3=0 e x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+36x+81=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 36 a b e 81 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 3\times 81}}{2\times 3}$$

Eleva 36 al quadrato.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 3\times 81}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-12\times 81}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 81.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-972}}{2\times 3}$$

Aggiungi 1296 a -972.

$$x=\frac{-36±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 324.

$$x=\frac{-36±18}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-36±18}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-36±18}{6} quando ± è più. Aggiungi -36 a 18.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Dividi -18 per 6.

$$x=-3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-36±18}{6} quando ± è meno. Sottrai 18 da -36.

$$x=-\frac{54}{6}$$

Dividi -54 per 6.

$$x=-9$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-3 x=-9$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+36x+81=0$$

Sottrai 81 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+36x+81-81=-81$$

Sottraendo 81 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+36x=-81$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+36x}{3}=-\frac{81}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{36}{3}x=-\frac{81}{3}$$

Dividi 36 per 3.

$$x^{2}+12x=-\frac{81}{3}$$

Dividi -81 per 3.

$$x^{2}+12x=-27$$

Dividi 12, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 6. Quindi aggiungi il quadrato di 6 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-27+6^{2}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x^{2}+12x+36=-27+36$$

Aggiungi -27 a 36.

$$x^{2}+12x+36=9$$

Fattore x^{2}+12x+36. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$x+6=3 x+6=-3$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3 x=-9$$