Risolvi 3x^2+24x+49=0

$$3 x ^ { 2 } + 24 x + 49 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4\approx -4+0,577350269i$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4\approx -4-0,577350269i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+24x+49=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 24 a b e 49 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 3\times 49}}{2\times 3}$$

Eleva 24 al quadrato.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 3\times 49}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-12\times 49}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 49.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-588}}{2\times 3}$$

Aggiungi 576 a -588.

$$x=\frac{-24±\sqrt{-12}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di -12.

$$x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6} quando ± è più. Aggiungi -24 a 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-24+2\sqrt{3}i}{6}$$

Dividi -24+2i\sqrt{3} per 6.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{3} da -24.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-24}{6}$$

Dividi -24-2i\sqrt{3} per 6.

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4 x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+24x+49=0$$

Sottrai 49 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+24x+49-49=-49$$

Sottraendo 49 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+24x=-49$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+24x}{3}=-\frac{49}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{24}{3}x=-\frac{49}{3}$$

Dividi 24 per 3.

$$x^{2}+8x=-\frac{49}{3}$$

Dividi 8, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 4. Quindi aggiungi il quadrato di 4 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-\frac{49}{3}+4^{2}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x^{2}+8x+16=-\frac{49}{3}+16$$

Aggiungi -\frac{49}{3} a 16.

$$x^{2}+8x+16=-\frac{1}{3}$$

Fattore x^{2}+8x+16. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=-\frac{1}{3}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{3}}$$

Semplifica.

$$x+4=\frac{\sqrt{3}i}{3} x+4=-\frac{\sqrt{3}i}{3}$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4 x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$