Risolvi 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 2 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Aggiungi 4 a -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} quando ± è più. Aggiungi -2 a 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Dividi -2+2i\sqrt{2} per 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{2} da -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Dividi -2-2i\sqrt{2} per 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividi \frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Aggiungi -\frac{1}{3} a \frac{1}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Sottrai \frac{1}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$