Risolvi 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Trova x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-35. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

La soluzione è la coppia che restituisce 16 come somma.

$$a=-5 b=21$$

Riscrivi 3x^{2}+16x-35 come \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Fattori in x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-5=0 e x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 16 a b e -35 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 16 al quadrato.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Aggiungi 256 a 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-16±26}{6} quando ± è più. Aggiungi -16 a 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Riduci la frazione \frac{10}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-16±26}{6} quando ± è meno. Sottrai 26 da -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Dividi -42 per 6.

$$x=-7$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Aggiungi 35 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Sottraendo -35 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Sottrai -35 da 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Dividi \frac{16}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{8}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{8}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{8}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Aggiungi \frac{35}{3} a \frac{64}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Sottrai \frac{8}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$