Risolvi 3x^2+13x-430=0

$$3 x ^ { 2 } + 13 x - 430 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{43}{3} = -14\frac{1}{3} \approx -14,333333333$$

$$x=10$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-430. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=13 ab=3\left(-430\right)=-1290$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -1290.

$$-1,1290 -2,645 -3,430 -5,258 -6,215 -10,129 -15,86 -30,43$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+1290=1289 -2+645=643 -3+430=427 -5+258=253 -6+215=209 -10+129=119 -15+86=71 -30+43=13$$

La soluzione è la coppia che restituisce 13 come somma.

$$a=-30 b=43$$

Riscrivi 3x^{2}+13x-430 come \left(3x^{2}-30x\right)+\left(43x-430\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(43x-430\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 43 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-10\right)+43\left(x-10\right)$$

Fattorizza il termine comune x-10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(3x+43\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-10=0 e 3x+43=0.

$$x=10 x=-\frac{43}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+13x-430=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 13 a b e -430 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 3\left(-430\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 13 al quadrato.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 3\left(-430\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-12\left(-430\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -430.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+5160}}{2\times 3}$$

Aggiungi 169 a 5160.

$$x=\frac{-13±\sqrt{5329}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 5329.

$$x=\frac{-13±73}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-13±73}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±73}{6} quando ± è più. Aggiungi -13 a 73.

$$x=\frac{60}{6}$$

Dividi 60 per 6.

$$x=10$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±73}{6} quando ± è meno. Sottrai 73 da -13.

$$x=-\frac{86}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-86}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{43}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=10 x=-\frac{43}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+13x-430=0$$

Aggiungi 430 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+13x-430-\left(-430\right)=-\left(-430\right)$$

Sottraendo -430 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+13x=-\left(-430\right)$$

Sottrai -430 da 0.

$$3x^{2}+13x=430$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+13x}{3}=\frac{430}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x=\frac{430}{3}$$

Dividi \frac{13}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{13}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{13}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x+\left(\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{430}{3}+\left(\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{13}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{430}{3}+\frac{169}{36}$$

Aggiungi \frac{430}{3} a \frac{169}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{5329}{36}$$

Fattore x^{2}+\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{5329}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5329}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{13}{6}=\frac{73}{6} x+\frac{13}{6}=-\frac{73}{6}$$

Sottrai \frac{13}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=10 x=-\frac{43}{3}$$