Risolvi 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Trova x,.y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai 6y da entrambi i lati.

$$3x+9-6y=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$3x-6y=-9$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 12 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$-2x-2y=12$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$3x-6y=-9$$

Aggiungi 6y a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=6y-9$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Moltiplica \frac{1}{3} per 6y-9.

$$x=2y-3$$

Sostituisci 2y-3 a x nell'altra equazione -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Moltiplica -2 per 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Aggiungi -4y a -2y.

$$-6y+6=12$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-6y=6$$

Dividi entrambi i lati per -6.

$$y=-1$$

Sostituisci -1 a y in x=2y-3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=-2-3$$

Aggiungi -3 a -2.

$$x=-5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-5,y=-1$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai 6y da entrambi i lati.

$$3x+9-6y=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$3x-6y=-9$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 12 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$-2x-2y=12$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-5,y=-1$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai 6y da entrambi i lati.

$$3x+9-6y=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$3x-6y=-9$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 12 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$-2x-2y=12$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Per rendere 3x e -2x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -2 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Semplifica.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Sottrai -6x-6y=36 a -6x+12y=18 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Aggiungi -6x a 6x. I termini -6x e 6x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$12y+6y=18-36$$

Aggiungi 12y a 6y.

$$18y=18-36$$

Aggiungi 18 a -36.

$$18y=-18$$

Dividi entrambi i lati per 18.

$$y=-1$$

Sostituisci -1 a y in -2x-2y=12. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Moltiplica -2 per -1.

$$-2x+2=12$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-2x=10$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$x=-5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-5,y=-1$$