Risolvi 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Trova x,.y

$$x=1$$

$$y=1$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$3x+5y=8$$

Sottrai 5y da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=-5y+8$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Moltiplica \frac{1}{3} per -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Sostituisci \frac{-5y+8}{3} a x nell'altra equazione x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Aggiungi -\frac{5y}{3} a -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Sottrai \frac{8}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{11}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=1$$

Sostituisci 1 a y in x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Aggiungi \frac{8}{3} a -\frac{5}{3} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=1$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=1,y=1$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Per rendere 3x e x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Semplifica.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Sottrai 3x-6y=-3 a 3x+5y=8 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Aggiungi 3x a -3x. I termini 3x e -3x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$5y+6y=8+3$$

Aggiungi 5y a 6y.

$$11y=8+3$$

Aggiungi 8 a 3.

$$11y=11$$

Dividi entrambi i lati per 11.

$$y=1$$

Sostituisci 1 a y in x-2y=-1. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x-2=-1$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=1$$