Risolvi 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Sottrai 1 da 5 per ottenere 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -4.

$$-1,4 -2,2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=4 b=-1$$

Riscrivi -x^{2}+3x+4 come \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Fattori in -x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Sottrai 1 da 5 per ottenere 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 3 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 9 a 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±5}{-2} quando ± è più. Aggiungi -3 a 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Dividi 2 per -2.

$$x=-1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±5}{-2} quando ± è meno. Sottrai 5 da -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Dividi -8 per -2.

$$x=4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-1 x=4$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Sottrai 5 da entrambi i lati.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Sottrai 5 da 1 per ottenere -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Dividi 3 per -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Dividi -4 per -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 4 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Fattore x^{2}-3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=-1$$