Risolvi 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Trova x,.y

$$x=2$$

$$y=1$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$3x+2y=8$$

Sottrai 2y da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=-2y+8$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Moltiplica \frac{1}{3} per -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Sostituisci \frac{-2y+8}{3} a x nell'altra equazione 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Moltiplica 5 per \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Aggiungi -\frac{10y}{3} a -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Sottrai \frac{40}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{22}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=1$$

Sostituisci 1 a y in x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Aggiungi \frac{8}{3} a -\frac{2}{3} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=2,y=1$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=2,y=1$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Per rendere 3x e 5x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 5 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Semplifica.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Sottrai 15x-12y=18 a 15x+10y=40 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Aggiungi 15x a -15x. I termini 15x e -15x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$10y+12y=40-18$$

Aggiungi 10y a 12y.

$$22y=40-18$$

Aggiungi 40 a -18.

$$22y=22$$

Dividi entrambi i lati per 22.

$$y=1$$

Sostituisci 1 a y in 5x-4y=6. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$5x-4=6$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x=10$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=2,y=1$$