Risolvi 3r^2-8r+1=0

$$3 r ^ { 2 } - 8 r + 1 = 0$$

Trova r

$$r = \frac{\sqrt{13} + 4}{3} \approx 2,535183758$$

$$r=\frac{4-\sqrt{13}}{3}\approx 0,131482908$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3r^{2}-8r+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -8 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$r=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$r=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12}}{2\times 3}$$

Aggiungi 64 a -12.

$$r=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{52}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 52.

$$r=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{13}}{2\times 3}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$r=\frac{8±2\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$r=\frac{8±2\sqrt{13}}{6}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{8±2\sqrt{13}}{6} quando ± è più. Aggiungi 8 a 2\sqrt{13}.

$$r=\frac{2\sqrt{13}+8}{6}$$

Dividi 8+2\sqrt{13} per 6.

$$r=\frac{\sqrt{13}+4}{3}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{8±2\sqrt{13}}{6} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{13} da 8.

$$r=\frac{8-2\sqrt{13}}{6}$$

Dividi 8-2\sqrt{13} per 6.

$$r=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=\frac{\sqrt{13}+4}{3} r=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-8r+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3r^{2}-8r+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$3r^{2}-8r=-1$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3r^{2}-8r}{3}=-\frac{1}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$r^{2}-\frac{8}{3}r=-\frac{1}{3}$$

Dividi -\frac{8}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{4}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}-\frac{8}{3}r+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{4}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$r^{2}-\frac{8}{3}r+\frac{16}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Aggiungi -\frac{1}{3} a \frac{16}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$r^{2}-\frac{8}{3}r+\frac{16}{9}=\frac{13}{9}$$

Fattore r^{2}-\frac{8}{3}r+\frac{16}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{13}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{9}}$$

Semplifica.

$$r-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{13}}{3} r-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{13}}{3}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$r=\frac{\sqrt{13}+4}{3} r=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$$