Risolvi 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Trova r

$$r=3$$

$$r=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 45 a entrambi i lati.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come r^{2}+ar+br+15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-5 b=-3$$

Riscrivi r^{2}-8r+15 come \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Fattori in r nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Fattorizza il termine comune r-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere r-5=0 e r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Aggiungi 45 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Sottraendo -45 da se stesso rimane 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Sottrai -45 da 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -24 a b e 45 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Eleva -24 al quadrato.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Aggiungi 576 a -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

L'opposto di -24 è 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{24±6}{6} quando ± è più. Aggiungi 24 a 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Dividi 30 per 6.

$$r=5$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{24±6}{6} quando ± è meno. Sottrai 6 da 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Dividi 18 per 6.

$$r=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=5 r=3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Dividi -24 per 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Dividi -45 per 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Dividi -8, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -4. Quindi aggiungi il quadrato di -4 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Aggiungi -15 a 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Fattore r^{2}-8r+16. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$r=5 r=3$$