Risolvi 3r^2+9r+6=0

$$3 r ^ { 2 } + 9 r + 6 = 0$$

Trova r

$$r=-2$$

$$r=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 3.

$$r^{2}+3r+2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come r^{2}+ar+br+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=1 b=2$$

Riscrivi r^{2}+3r+2 come \left(r^{2}+r\right)+\left(2r+2\right).

$$\left(r^{2}+r\right)+\left(2r+2\right)$$

Fattori in r nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$r\left(r+1\right)+2\left(r+1\right)$$

Fattorizza il termine comune r+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(r+1\right)\left(r+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere r+1=0 e r+2=0.

$$r=-1 r=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3r^{2}+9r+6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 9 a b e 6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 6.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Aggiungi 81 a -72.

$$r=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$r=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$r=\frac{-9±3}{6}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-9±3}{6} quando ± è più. Aggiungi -9 a 3.

$$r=-\frac{6}{6}$$

Dividi -6 per 6.

$$r=-1$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-9±3}{6} quando ± è meno. Sottrai 3 da -9.

$$r=-\frac{12}{6}$$

Dividi -12 per 6.

$$r=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=-1 r=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}+9r+6=0$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3r^{2}+9r+6-6=-6$$

Sottraendo 6 da se stesso rimane 0.

$$3r^{2}+9r=-6$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3r^{2}+9r}{3}=-\frac{6}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$r^{2}+\frac{9}{3}r=-\frac{6}{3}$$

Dividi 9 per 3.

$$r^{2}+3r=-\frac{6}{3}$$

Dividi -6 per 3.

$$r^{2}+3r=-2$$

Dividi 3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}+3r+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$r^{2}+3r+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Aggiungi -2 a \frac{9}{4}.

$$r^{2}+3r+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Fattore r^{2}+3r+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$r+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} r+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$r=-1 r=-2$$