Risolvi 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Trova q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3q^{2}+aq+bq+16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

La soluzione è la coppia che restituisce -19 come somma.

$$a=-16 b=-3$$

Riscrivi 3q^{2}-19q+16 come \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Fattorizza q nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Fattorizzare il termine comune 3q-16 usando la proprietà distributiva.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 3q-16=0 e q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -19 a b e 16 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Eleva -19 al quadrato.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Aggiungi 361 a -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

L'opposto di -19 è 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Ora risolvi l'equazione q=\frac{19±13}{6} quando ± è più. Aggiungi 19 a 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Riduci la frazione \frac{32}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Ora risolvi l'equazione q=\frac{19±13}{6} quando ± è meno. Sottrai 13 da 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Dividi 6 per 6.

$$q=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Sottrai 16 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Sottraendo 16 da se stesso rimane 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Dividi -\frac{19}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{19}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{19}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{19}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Aggiungi -\frac{16}{3} a \frac{361}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Scomponi q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Semplifica.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Aggiungi \frac{19}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$