Risolvi 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Trova p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3p^{2}+ap+bp+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-5 b=-3$$

Riscrivi 3p^{2}-8p+5 come \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Fattori in p nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 3p-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3p-5=0 e p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -8 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Aggiungi 64 a -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{8±2}{6} quando ± è più. Aggiungi 8 a 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Riduci la frazione \frac{10}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{8±2}{6} quando ± è meno. Sottrai 2 da 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Dividi 6 per 6.

$$p=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Dividi -\frac{8}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{4}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{4}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Aggiungi -\frac{5}{3} a \frac{16}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Fattore p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Semplifica.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$