Risolvi 3p^2+43p+14=0

$$3 p ^ { 2 } + 43 p + 14 = 0$$

Trova p

$$p=-14$$

$$p=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3p^{2}+ap+bp+14. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=43 ab=3\times 14=42$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

La soluzione è la coppia che restituisce 43 come somma.

$$a=1 b=42$$

Riscrivi 3p^{2}+43p+14 come \left(3p^{2}+p\right)+\left(42p+14\right).

$$\left(3p^{2}+p\right)+\left(42p+14\right)$$

Fattori in p nel primo e 14 nel secondo gruppo.

$$p\left(3p+1\right)+14\left(3p+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3p+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3p+1\right)\left(p+14\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3p+1=0 e p+14=0.

$$p=-\frac{1}{3} p=-14$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3p^{2}+43p+14=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 43 a b e 14 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-43±\sqrt{43^{2}-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

Eleva 43 al quadrato.

$$p=\frac{-43±\sqrt{1849-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$p=\frac{-43±\sqrt{1849-12\times 14}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 14.

$$p=\frac{-43±\sqrt{1849-168}}{2\times 3}$$

Aggiungi 1849 a -168.

$$p=\frac{-43±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 1681.

$$p=\frac{-43±41}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$p=\frac{-43±41}{6}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{-43±41}{6} quando ± è più. Aggiungi -43 a 41.

$$p=-\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$p=-\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{-43±41}{6} quando ± è meno. Sottrai 41 da -43.

$$p=-\frac{84}{6}$$

Dividi -84 per 6.

$$p=-14$$

L'equazione è stata risolta.

$$p=-\frac{1}{3} p=-14$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}+43p+14=0$$

Sottrai 14 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3p^{2}+43p+14-14=-14$$

Sottraendo 14 da se stesso rimane 0.

$$3p^{2}+43p=-14$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3p^{2}+43p}{3}=-\frac{14}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$p^{2}+\frac{43}{3}p=-\frac{14}{3}$$

Dividi \frac{43}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{43}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{43}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$p^{2}+\frac{43}{3}p+\left(\frac{43}{6}\right)^{2}=-\frac{14}{3}+\left(\frac{43}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{43}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$p^{2}+\frac{43}{3}p+\frac{1849}{36}=-\frac{14}{3}+\frac{1849}{36}$$

Aggiungi -\frac{14}{3} a \frac{1849}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$p^{2}+\frac{43}{3}p+\frac{1849}{36}=\frac{1681}{36}$$

Fattore p^{2}+\frac{43}{3}p+\frac{1849}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{43}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(p+\frac{43}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Semplifica.

$$p+\frac{43}{6}=\frac{41}{6} p+\frac{43}{6}=-\frac{41}{6}$$

Sottrai \frac{43}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$p=-\frac{1}{3} p=-14$$