Risolvi 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Trova n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3n^{2}+an+bn-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-9 b=5$$

Riscrivi 3n^{2}-4n-15 come \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Fattori in 3n nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Fattorizza il termine comune n-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-3=0 e 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -4 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Aggiungi 16 a 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{4±14}{6} quando ± è più. Aggiungi 4 a 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Dividi 18 per 6.

$$n=3$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{4±14}{6} quando ± è meno. Sottrai 14 da 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Aggiungi 15 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Sottraendo -15 da se stesso rimane 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Sottrai -15 da 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Dividi 15 per 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Dividi -\frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Aggiungi 5 a \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Fattore n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Semplifica.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$