Risolvi 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Trova n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3n^{2}+an+bn-8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=-2 b=12$$

Riscrivi 3n^{2}+10n-8 come \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Fattori in n nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3n-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3n-2=0 e n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3n^{2}+10n=8$$

Sottrai 8 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Sottraendo 8 da se stesso rimane 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 10 a b e -8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Aggiungi 100 a 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-10±14}{6} quando ± è più. Aggiungi -10 a 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Riduci la frazione \frac{4}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-10±14}{6} quando ± è meno. Sottrai 14 da -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Dividi -24 per 6.

$$n=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Dividi \frac{10}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Aggiungi \frac{8}{3} a \frac{25}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Fattore n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Semplifica.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Sottrai \frac{5}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$