Risolvi 3f^2+3f-18=0

$$3 f ^ { 2 } + 3 f - 18 = 0$$

Trova f

$$f=-3$$

$$f=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 3.

$$f^{2}+f-6=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come f^{2}+af+bf-6. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-2 b=3$$

Riscrivi f^{2}+f-6 come \left(f^{2}-2f\right)+\left(3f-6\right).

$$\left(f^{2}-2f\right)+\left(3f-6\right)$$

Fattori in f nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$f\left(f-2\right)+3\left(f-2\right)$$

Fattorizza il termine comune f-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(f-2\right)\left(f+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere f-2=0 e f+3=0.

$$f=2 f=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3f^{2}+3f-18=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 3 a b e -18 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -18.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9+216}}{2\times 3}$$

Aggiungi 9 a 216.

$$f=\frac{-3±\sqrt{225}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 225.

$$f=\frac{-3±15}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$f=\frac{-3±15}{6}$$

Ora risolvi l'equazione f=\frac{-3±15}{6} quando ± è più. Aggiungi -3 a 15.

$$f=\frac{12}{6}$$

Dividi 12 per 6.

$$f=2$$

Ora risolvi l'equazione f=\frac{-3±15}{6} quando ± è meno. Sottrai 15 da -3.

$$f=-\frac{18}{6}$$

Dividi -18 per 6.

$$f=-3$$

L'equazione è stata risolta.

$$f=2 f=-3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3f^{2}+3f-18=0$$

Aggiungi 18 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3f^{2}+3f-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Sottraendo -18 da se stesso rimane 0.

$$3f^{2}+3f=-\left(-18\right)$$

Sottrai -18 da 0.

$$3f^{2}+3f=18$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3f^{2}+3f}{3}=\frac{18}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$f^{2}+\frac{3}{3}f=\frac{18}{3}$$

Dividi 3 per 3.

$$f^{2}+f=\frac{18}{3}$$

Dividi 18 per 3.

$$f^{2}+f=6$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$f^{2}+f+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 6 a \frac{1}{4}.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Fattore f^{2}+f+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Semplifica.

$$f+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} f+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$f=2 f=-3$$