Risolvi 3b^2-8b-15=0

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

Trova b

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -8 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -15.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Aggiungi 64 a 180.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 244.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Ora risolvi l'equazione b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} quando ± è più. Aggiungi 8 a 2\sqrt{61}.

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Dividi 8+2\sqrt{61} per 6.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Ora risolvi l'equazione b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{61} da 8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Dividi 8-2\sqrt{61} per 6.

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Aggiungi 15 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Sottraendo -15 da se stesso rimane 0.

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

Sottrai -15 da 0.

$$3b^{2}-8b=15$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

Dividi 15 per 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

Dividi -\frac{8}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{4}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{4}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Aggiungi 5 a \frac{16}{9}.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Scomponi b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Semplifica.

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$