Risolvi 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Trova z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come z^{2}+az+bz+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=1 b=2$$

Riscrivi z^{2}+3z+2 come \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Fattorizza z nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Fattorizzare il termine comune z+1 usando la proprietà distributiva.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi z+1=0 e z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 9 a b e 6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Aggiungi 81 a -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-9±3}{6} quando ± è più. Aggiungi -9 a 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Dividi -6 per 6.

$$z=-1$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-9±3}{6} quando ± è meno. Sottrai 3 da -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Dividi -12 per 6.

$$z=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$z=-1 z=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Sottraendo 6 da se stesso rimane 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Dividi 9 per 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Dividi -6 per 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Dividi 3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Aggiungi -2 a \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Scomponi z^{2}+3z+\frac{9}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$z=-1 z=-2$$